1.1 Definicion y origen de los numeros complejos
Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Definición de número complejo
Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados
z = (x, y)
de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.
1.2 Operaciones fundamentales con numeros complejos
Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes conmitativas
z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3)
se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1
La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva
z(z1 + z2) = zz1 + zz2,
es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy o z = x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z y z * 1 = z
para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que
x + u = x e y + v = y;
o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo
-z = (-x, -y)
que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.
Los inversos aditivos se usan para definir la resta:
z1 - z2 = z1 + (-z2).
Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces
z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i(y1 - y2).
Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo, buscamos números reales u, v expresados en términos de x e y, tales que
(x, y)(u, v) = (1,0).
1.3 Potencias de ¨i¨ modulo o valor absoluto de un numero complejo
“i” representa el término imaginario, porque tal número no existe en la realidad.
La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación.
Antes de realizar algo con ella, se asume que el valor de i2 es igual a −1: Esto se puede tomar como un hecho universal de las matemáticas. Todos los otros valores de exponente de i son determinados a partir de este valor global.
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
El valor absoluto se define como la distancia calculada del número complejo desde su origen en un plano complejo. Este concepto es similar al de los números reales con la diferencia, que en lugar de plano complejo tomamos la recta numérica para calcular la distancia del número desde el origen, esto es cero.
1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo.
Forma polar y exponencial de los números complejos Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ.
‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del eje real.
Ahora veamos la conversión de la forma polar a la rectangular: Las fórmulas utilizadas para estas conversiones son:
Y a la inversa, la conversión de rectangular a polar:
Estas fórmulas se pueden utilizar. Ahora, veamos las operaciones de multiplicación y división en la forma polar: Regla de la multiplicación: En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados. Regla de la División: En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente. Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la forma r e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828….
1.5 Teorema de moivre, potencias y extracciones de raices de un numero complejo.
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre
Que es útil en trigonometría, pues permite hallar en función de
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
trata de aproximar una distribución binomial a una normal. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite.
En el fondo no es más que la forma más elemental del Teorema Central del Límite, el cual viene a precisar la Ley de los Grandes Números.
1.6 Ecuaciones polinomicas.
CONCEPTO ECUACION POLINOMICA
Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
¿Cómo resolver una ecuación de primer grado?
Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el derecho.
Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el derecho.
