2.1 definicion de matriz, notacion y orden
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.Ejemplo:Dada la matriz:
que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7
La matriz:
es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Morales C.. (s/a). matriz notación y orden. 2015, de blog Sitio web: https://sites.google.com/site/algebralinealmoralescamacho/u2-matrices/2-1-definición-de-matriz-notación-y-orden
2.2 operaciones con matrices.
Sumar:
Sumamos los valores que ocupan la misma posición.El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.
Vamos a sumar las matrices A y B:
Restar matrices:
Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:
Multiplicar matrices:
Vamos a considerar 2 casos:
1) Multiplicar una matriz por un escalar
Multiplicamos cada elemento por el escalar:
2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:
Multiplicamos las matrices:
Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:
Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
Sumamos los valores que ocupan la misma posición.El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.
Vamos a sumar las matrices A y B:
Restar matrices:
Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:
Multiplicar matrices:
Vamos a considerar 2 casos:
1) Multiplicar una matriz por un escalar
Multiplicamos cada elemento por el escalar:
2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:
Multiplicamos las matrices:
Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:
Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
aula facil. (s/a). operacion de matrices. s/f, de aula facil Sitio web: http://www.aulafacil.com/cursos/l11067/ciencia/matematicas/matrices-y-determinantes/operaciones-con-matrices-ejercicio-8
2.3 clasificaciones de matrices
*Triangular superior:
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
* Triangular inferior:
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
* Diagonal:
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
* Escalar:
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
*Identidad:
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
* Potencia:
Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.
Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A
Se conviene en que:
A- k = (A- 1) k " k OE Õ
A0 = I
* Traspuesta:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
* Simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
* Antisimetrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
* Compleja:
Sus elementos son números complejos aij e ¬
* Conjugada:
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).
* Hermitiana o hermitica:
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
* Antihermitiana:
una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
o en su forma componente, si (A = ai,j):
Para todas las i y las j.
* Ortogonal:
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.
Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A
Se conviene en que:
A- k = (A- 1) k " k OE Õ
A0 = I
* Traspuesta:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
* Simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
* Antisimetrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
* Compleja:
Sus elementos son números complejos aij e ¬
* Conjugada:
Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).
* Hermitiana o hermitica:
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
* Antihermitiana:
una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
A * = -A
o en su forma componente, si (A = ai,j):
Para todas las i y las j.
* Ortogonal:
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
s/a. (s/a). algebra lineal. 2015, de blog Sitio web: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/23-clasificacion-de-las-matrices.html
2.4 transformaciones elementales por región.Escalonamiento de una matriz, rango de una matriz
Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.
Una Matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.
La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Teorema:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Una Matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades:
Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.
Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.
Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.
La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Teorema:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.
Intercambiar la posición de dos filas.
Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.
Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.
Teorema:
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.
Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.
El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:
Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
Jazmin Morales. (2012). transformaciones elementales . 2015, de blog Sitio web: http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/24-transformaciones-elementales-por.html
2.5 Calculo de la inversa de una matriz
Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.
Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.
Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.
Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:
No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.
No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
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